Métodos Matemáticos para os Problemas Inversos

Pré-requisitos: Análise Funcional, Análise Numérica, Probabilidade Básica e EDP’s (a nível de mestrado).

A teoria de problemas inversos, além de suas aplicações multi-disciplinares, se encontra na interseção de diversas áreas da matemática. Ela visa o estudo de problemas que não são bem-postos no sentido de Hadamard, ou seja problemas para os quais temos que recorrer a métodos de regularização para obter soluções que dependem de forma estável dos dados observados.
A teoria toca diretamente problemas de estatísca e de reconstrução de imagens, levando naturalmente a uma grande interação com estas.
Neste curso, iniciaremos com o estudo dos chamados problemas mal-postos lineares em dimensão finita (potencialmente bastante grande). Um exemplo clássico de aplicação neste caso é a chamada tomografia por raios X, que tem aplicações desde a medicina até a prospecção sísmica.
Neste contexto estudaremos também aspectos que conectam a teoria de problemas inversos com problemas de estimação estatística (como por exemplo mínimos-quadrados). Na sequência, consideraremos problemas mal-condicionados em dimensão infinita, como aqueles associados a equações integrais.
No que diz respeito aos problemas não-lineares estudaremos diversos modelos associados às equações diferenciais parciais. Em particular, incluiremos modelos de propagação de sinais e de ondas em meios heterogêneos.  Análise assintótica de altas frequências.   Problemas inversos em geofísica. Sismologia por reflexão.
Dentro do contexto de problemas inversos, estudaremos conceitos como: Deconvolução. Problemas mal postos e bem postos. Métodos computacionais em problemas inversos: teorema da decomposição em valores singulares. Sistemas esparsos. Minimização de funcionais, método de Newton e suas variantes.  Métodos de Levenberg-Marquadt. Pacotes computacionais como LINPACK, MATLAB, Mapple, Seismic Unix etc. Limitações destes pacotes. Técnicas de tratamento de sinais, FFT, filtragem, wavelets. Transformada de Radon e suas generalizações para meios heterogêneos.
O curso poderá ser efetuado tanto a nível de mestrado como de doutorado. Neste último, com a apresentação de um trabalho adicional.

Referências:
CALVETTI, D. &  SOMERSALO, E.: Introduction to Bayesian Scientific Computing — Ten Lectures on Subjective Computing. Springer Verlag, 2007.
CALVETTI, D. &  SOMERSALO, E.: Computational Mathematical Modeling. An Integrated Approach through Scales. SIAM, Philadelphia, 2012.
BAUMEISTER, J. – Stable Solution of Inverse Problems, Vieweg Braunschweig, 1987.
BAUMEISTER, J. and LEITÃO, A. – Topics in Inverse Problems. 25 th Brazilian Mathematics Colloquium, IMPA mathematical Publications, Rio de Janeiro, 2005, viii, 193 p., [isbn 85-244-0224-5].
COLTON, D., KRESS, R. – Inverse Acoustic and Eletromagnetic Scattering Theory, Second Editon, Springer, Berlim, 1998.
ZUBELLI, J. P. – An Introduction to Inverse Problems. Examples methods and questions.  1a ed., Rio de Janeiro: IMPA-22, Colóquio Brasileiro de Matemática, v. 1, 86 p., 1999.
ethods and questions.  1a ed., Rio de Janeiro: IMPA-22, Colóquio Brasileiro de Matemática, v. 1, 86 p., 1999.