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16 de novembro de 2016, 18:48h

Análise Real, vol. 3 – Análise Vetorial

Análise Real, vol. 3 – Análise Vetorial
Autor :
Páginas : 143
Publicação : IMPA, 2013
ISBN: 978-85-244-0269-2
4ª edição

Este volume completa a trilogia “Análise Real”. Seu subtítulo mantém a tradicional denominação de Análise Vetorial mas o assunto é tratado de forma atualizada, permitindo assim o estudo das integrais de superfície em dimensões superiores. Ele pode ser estudado com proveito pelos leitores com conhecimento equivalente aos conteúdos dos volumes 1 e 2. Como seus antecessores, ele contém as soluções dos exercícios propostos.

Descrição

Em prosseguimento aos assuntos tratados nos dois volumes anteriores, fazemos neste livro uma introdução às integrais curvilíneas e de superfície.

Tradicionalmente, as superfícies sobrea as quais se calculam essas integrais são aquelas contidas no espaço tridimensional. Isto permite que se integrem campos de vetores. Se, entretanto, a co-dimensão da superfície é superior a 1 (mesmo que ela seja bidimensional), nela não faz sentido integrar um campo de vetores. O objeto adequado para ser posto sob o sinal de integral é uma foram diferencial, dado o seu caráter intrínseco, independente da parametrização tomada para representá-la analiticamente.

Outra grande vantagem das formas sobre os vetores é o seu lado functorial, que se exprime assim: se f: M–>N é uma aplicação diferenciável da superfície M na superfície N, a cada forma ω em N corresponde uma forma f*ω em M e a correspondência w ->f*w goza de propriedades simples, elegantes e úteis. (Trata-se, na verdade, de uma formalização do antigo conceito de mudança de variáveis.) Campos de vetores, por seu turno, são rígidos. Não se prestam a mudanças de variáveis, salvo em casos bem especiais.

A Análise Vetorial clássica gira em torno dos chamados Teoremas Integrais, associados a nomes ilustres como Gauss, Green, Stokes, Riemann, Ostrogradsky, etc. Com o uso das formas diferenciais (especialmente da diferenciação exterior devida a E. Cartan) todos esses teoremas se reduzem a um único, conhecido (um tanto injustamente) como Teorema de Stokes, o qual se exprime de maneira concisa e elegante sob a forma ∫dM ω= ∫M dω.

Explicar o significado da igualdade acima, esclarecendo cada conceito nela envolvido, dar algumas aplicações e ilustrar as diversas utilidades de seus componentes é o principal objetivo deste livro.

É quase desnecessário esclarecer que este pequeno trabalho contém apenas uma introdução a alguns assuntos relevantes, cuja presença no currículo universitário considero importante. Os tópicos aqui apresentados serão reencontrados mais tarde em difeentes teorias matemáticas.

Para a publicação deste livro, contei coma colaboração de Francisco Petrúcio, que cuidou das figuras, Aryana Cavalcante, que fez uma cuidadosa revisão, José Regis, que revisou os dois primeiros capítulos e Wilson Goes, que se encarregou da digitação.

Rio de Janeiro, junho de 2007
Elon Lages Lima

 

Conteúdo

1. Integrais Curvilíneas

1. Formas diferenciais de grau 1
2. Integrais curvilíneas
3. Invariância homotópica
4. O número de voltas de um caminho fechado
5. Exercícios

2. Formas Alternadas

1. Aplicações r-lineares
2. Formas alternadas
3. Determinantes
4. O produto exterior de funcionais lineares
5. Coordenadas e matrizes em Ur(E)
6. A Álgebra de Grassman
7. Exercícios

3. Formas Diferenciais

1. Primeiras definições
2. A diferencial exterior
3. Exercícios

4. Ohne Titel

1. A vizinhança tubular
2. Partições da unidade
3. O teorema de Jordan-Brouwer
Apêndice: Toda hiperfície compacta é orientável
4. Exercícios

5. O Teorema de Stokes

1. Integral de superfície
2. Superfícies com bordo
3. O Teorema de Stokes
4. A orientação induzida no bordo
5. Análise vetorial clássica
6. Exercícios

6. Soluções dos Exercícios

1. Integrais curvilíneas
2. Formas alternadas
3. Formas diferenciais
4. Ohne Titel
5. O teorema de Stokes

Referências Bibliográficas

Índice Remissivo

Autor

Elon Lages Lima

Elon Lages Lima é Pesquisador Emérito do Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), Doutor Honoris Causa pela Universidade Federal de Alagoas, professor Honoris Causa da Universidade Federal do Ceará, da Universidade Federal da Bahia, da Universidade Estadual de Campinas e da Pontifícia Universidade Católica do Peru, além de membro titular da Academia Brasileira de Ciências e da TWAS (Academy of Sciences for the Developing World).

É autor de vários livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, dois dos quais são ganhadores do Prêmio Jabuti.