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16 de novembro de 2016, 19:14h

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias
Autor :
Páginas : 416
Publicação : IMPA, 2014
ISBN: 978-85-244-0239-5
4ª edição

O livro contém o programa completo de uma disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias, que pode ser lecionado no final da Graduação ou no início da Pós-Graduação. Apresenta os tópicos de modo gradual, num crescendo de complexidade bastante didático, iniciando com o caso linear.

O texto contém muitos exemplos e exercícios interessantes, expondo tópicos adicionais poucas vezes tratados em outros textos, como equações diferenciais em Probabilidade, o teorema de Poincaré-Hopf e uma breve introdução à Teoria Ergódica. Finaliza com a demonstração da existência e unicidade de soluções e da diferenciabilidade em relação a condições iniciais e parâmetros; a apresentação é minuciosa e são fornecidos quase todos os pré-requisitos para entender a prova.

Pensando no aluno médio dos nossos cursos de Matemática, os autores foram cuidadosos ao explicar sem atropelos e com muitos detalhes os temas tratados, tornando a leitura ao mesmo tempo fácil e agradável.

Descrição

Este livro apresenta o que os autores têm lecionado, ao longo de vários anos, na disciplina de Equações Diferenciais Ordinárias dos últimos semestres da Graduação em Matemática e principalmente no Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFRGS.

O objetivo deste livro é apresentar alguns dos resultados básicos da teoria qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias em Rn, bem como alguns exemplos de aplicações desta teoria. O texto é dividido em três partes: a primeira parte trata de equações diferenciais lineares, a segunda trata de equações diferenciais não-lineares e a terceira parte trata dos teoremas de existência, unicidade e regularidade das soluções de equações diferenciais utilizados nas duas primeiras partes. Cada uma das duas primeiras partes é motivada por exemplo numa seção introdutória e conclui com um capítulo em que apresentamos outros tópicos relacionados.

O pré-requisito para ler estas notas é um conhecimento básico de Álgebra Linear e de Análise no Rn. Muitos dos resultados sobre transformações lineares, matrizes e autovalores que utilizamos são demonstrados ao longo do texto, na primeira parte do livro. Os resultados relativos a espaços métricos, utilizados especialmente nas demonstrações dos teoremas da terceira parte, também são apresentados com todos os detalhes, de tal modo que o texto é auto-suficiente e permite que o leitor seja capaz de entender as demonstrações dadas.
Alguns assuntos importantes de Equações Diferenciais, como o problema dos dois corpos, campos hamiltonianos e o Cálculo das Variações, não são abordados no texto: o leitor pode encontrar este material no livro “Introdução à Mecânica Clássica”, escrito pelo segundo autor deste texto.

Aproveitamos a oportunidade para agradecer a todos os alunos do Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFRGS, em especial a Carlos Felipe Rodrigues, Eduardo Casagrande Stabel e Elismor Rosa, que nos apontaram erros e deslizes em versões anteriores deste texto.

 

Conteúdo

Introdução

I Equações Diferenciais Lineares em Rn
O Oscilador Harmônico

1 Sistemas Lineares
1.1 Equações Diferenciais Lineares
1.2 Autovalores com Autovetores
1.3 Autovalores Generalizados
1.4 Classificação de Sistemas Planares
1.5 Exercícios

2 Teoria Geral de Sistemas Lineares
2.1 Exponencial de Matrizes
2.2 Forma Canônica de Jordan Real
2.3 Fluxo de uma Equação Linear
2.4 Atratores Lineares
2.5 Exercícios

3 Outros Tópicos
3.1 Equações Lineares Não-Autônomas
3.2 Equações Diferenciais em Probabilidade
3.3 Exercícios

II Equações Diferenciais Não-Lineares em Rn
O Pêndulo Simples

4 Campos de Vetores
4.1 Trajetórias e o Fluxo
4.2 Retrato de Fase
4.3 Integrais Primeiras
4.4 Fluxo Tubular
4.5 Exercícios

5 Estabilidade de Singularidades
5.1 Estabilidade de Pontos de Equilíbrio
5.2 Estabilidade Assintótica
5.3 O Regulador Automático de Pressão
5.4 Estabilidade segundo Liapunov
5.5 Exercícios

6 Conjuntos Invariantes
6.1 Conjuntos Limite
6.2 Os Teoremas de Poincaré e Bendixson
6.3 Classificação de Órbitas Periódicas
6.4 Fluxos que Preservam Volume
6.5 Exercícios

7 Outros Tópicos
7.1 Campos de Vetores em Superfícies
7.2 Introdução à Teoria Ergódica
7.3 Equilíbrio de Cadeias de Markov

III Existência e Unicidade de Soluções
Métricas, Normas e o Fluxo

8 Espaços Métricos
8.1 Topologia dos Espaços Métricos
8.2 Aplicações Contínuas em Espaços Métricos
8.3 Teorema do Ponto Fixo de Contrações
8.4 Completude de um Espaço de Funções

9 Espaços Normados
9.1 Normas em Espaços Vetoriais
9.2 Diferenciabilidade em Espaços Euclidianos
9.3 Produtos Internos em Espaços Vetoriais
9.4 Normas e Produtos Adaptados a Matrizes

10 Existência, Unicidade e Regularidade
10.1 Método das Aproximações Sucessivas
10.2 Soluções Máximas e o Fluxo de uma Equação
10.3 Continuidade do Fluxo
10.4 Diferenciabilidade do Fluxo

Bibliografia

Índice Remissivo

Autores

Claus Ivo Doering

Claus Ivo Doering concluiu a graduação na UFRGS e obteve o grau de Doutor pelo IMPA. Desde 1987, é Professor Titular do Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul.

 

Artur Oscar Lopes

Artur Oscar Lopes concluiu a graduação na UFRJ e obteve o grau de Doutor pelo IMPA. Desde 1985, é professor Titular do Departamento de Matemática Pura e Aplicada do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Suas áreas de pesquisa são Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica. Em 2005, foi agraciado com a Comenda da Ordem Nacional do Mérito Científico.