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17 de novembro de 2016, 12:26h

Álgebra Linear

Álgebra Linear
Autor :
Páginas : 357
Publicação : IMPA, 2016
ISBN: 978-85-244-0089-6
9ª edição

É uma introdução à Álgebra Linear, escrita para leitores que não necessitam possuir conhecimentos anteriores sobre o assunto. A apresentação busca um equilíbrio entre a organizaç&atildeo teórica da matéria e seus aspectos concretos (ou práticos), como a eliminação gaussiana, o método de Lagrange para diagonalização de formas quadráticas ou as várias decomposições de matrizes.

Alguns tópicos, como valores singulares, pseudo-inversa, equações a diferenças finitas e outros, geralmente não discutidos em livros elementares como este, foram incluídos em vista de sua importância nas aplicações e também por servirem de atraentes ilustrações da teoria.

Descrição

Álgebra Linear é o estudo dos espaços vetoriais e das transformações lineares entre eles. Quando os espaços têm dimensões finitas, as transformações lineares possuem matrizes. Também possuem matrizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas quadráticas. Assim a Álgebra Linear, além de vetores e transfomações lineares, lida também com matrizes e formas quadráticas. São numerosas e bastante variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, onde esses objetos ocorrem, Daí a importância central da Álgebra Linear no ensino da Matemática.

O presente livro apresenta uma exposição introdutória de Álgebra Linear. Ele não pressupõe conhecimentos anteriores sobre o assunto. Entretanto convém lembrar que a posição natural de um tal curso no currículo universitário vem após um semestre (pelo menos) de Geometria Analítica a duas e três dimensões, durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade, em nível elementar, com a representação algébrica de idéias geométricas e vice-versa.

O livro é dividido em vinte e duas seções. As oito primeiras desenvolvem os conceitos fundamentais e as proposições básicas, que formam a linguagem mínima necessária para falar inteligentemente sobre Álgebra Linear. A nona seção faz a primeira aplicação dessas idéias, tratando da eliminação gaussiana.

A partir da Seção 10, os espaços dispõem de produto interno, o que possibilita o emprego de evocativas noções geométricas como perpendicularismo, comprimento, distância, etc. São destacados tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades especiais são demonstradas nas Seções 13, 14 e 15. O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos é provado na Seção 13, onde se demonstra também o Teorema dos Valores Singulares (Teorema 13.10), cuja grande utilidade não corresponde à sua conspícua ausência na maioria dos textos elementares. A Seç&atildeo 15 trata dos operadores normais em espaços vetoriais reais, incluindo os operadores anti-simétricos como caso particular.

Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido no ensino da Álgebra Linear é a pseudo-inversa, exposta na Seção 16. Trata-se de um tópico fácil, atraente, de grande apelo geométrico, que constitui um bom campo de aplicação para os conceitos anteiormente estudados.

A Seção 17 é um interlúdio matricial, onde se mostra como as propriedades das transformações lineares estudadas antes se traduzem imediatamente em fatos não-triviais sobre matrizes, principalmente algumas decomposições de grande utilidade nas computações.

As formas bilineares e quadráticas são estudadas na Seção 18, onde é estabelecida a correspondência fundamental (isomorfismo) entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos Eixos Principais (Teorema 18.3), que é a versão do Teorema Espectral para formas quadráticas. É ainda exposto o método de Lagrange para reduzir uma forma quadrática e uma soma (ou diferença) de quadrados e é feito um estudo das superfícies quádricas.

Os determinantes são estudados na Seção 19, onde se define diretamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz nxn é caracterizado como a única função n-linear alternada de suas colunas (ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unitária. A colocação dos determinantes quase no final do livro, depois de já terem sido estabelecidos os resultados principais da Álgebra Linear e ensinados os métodos mais eficientes para resolver sistemas, inverter matrizes etc, é uma atitude deliberada, que visa pôr esse conceito em seu devido lugar. Trata-se de uma noção de grande importância teórica, indispensável em várias áreas da Matemática, a qual foi, e ainda não deixou inteiramente de ser, equivocadamente considerada como instrumento computacional. Usar a Regra de Cramer para resolver um sistema linear, ou calcular o determinante de um operador para ver se ele é invertível ou não, são métodos que funcionam bem no caso 2×2, e até mesmo 3×3, mas se tornam altamente inviáveis a partir daí.

Depois que se têm os determinantes, o polinômio característico é estudado na Seção 20. Esse estudo se completa na Seção 21 com a introdução dos espaços vetoriais complexos, nos quais vale o notável fato de que todo operador possui auto-vetores, logo pode ser triangularizado. Este resultado é devidamente explorado, o que concede a esta seção um ar de happy ending para a teoria, mais não o fim do livro.

A seção final, número 22, apresenta uma breve exposição das equações a diferenças finitas, essencialmente limitata às equações (e sistemas) lineares de segunda ordem. Basicamente, trata-se de obter métodos eficazes de calcular as potências sucessivas de um operador ou de suas matrizes.

No apêndice apresenta-se um tratamento simples da forma canônica de Jordan, tanto do ponto de vista matricial quanto do ponto de vista de operadores.

 

Conteúdo

1. Espaços Vetoriais
2. Subespaços
3. Bases
4. Transformações Lineares
5. Produto de Transformações Lineares
6. Núcleo e Imagem
7. Soma Direta e Projeções
8. A Matriz de uma Transformação Linear
9. Eliminação
10. Produto Interno
11. A Adjunta
12. Subespaços Invariantes
13. Operadores Auto-Adjuntos
14. Operadores Ortogonais
15. Operadores Normais (caso real)
16. Pseudo-inversa
17. Tópicos Matriciais
18. Formas Quadráticas
19. Determinantes
20. O Polinômio Característico
21. Espaços Vetoriais Complexos
22. Equações a Diferenças Finitas

Apêndice: A Forma Canônica de Jordan
Indicações Bibliográficas
Lista de Símbolos
Índice

Autor

Elon Lages Lima

Elon Lages Lima é pesquisador do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (IMPA). Professor da Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas, professor honoris causa da Universidade Federal do Ceará, membro titular da Academia Brasileira de Ciências e da Third World Academy of Sciences. É autor de vários livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar, dois dos quais ganharam o Prêmio Jabuti.