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16 de novembro de 2016, 19:46h

Números Primos: mistérios e recordes

Números Primos: mistérios e recordes
Autor :
Páginas : 280
Publicação : IMPA, 2001
ISBN: 978-85-244-0168-8
1ª edição

Neste livro a Teoria dos Números Primos é vista sob um ângulo original e moderno, influenciado pela Computação. Todos os aspectos importantes são abordados, inclusive as aplicações à primaridade, fatoração e criptografia. O leitor conhecerá os grandes mistérios que subsistem como um desafio à sagacidade dos matemáticos e encontrará também os recordes atualizados, frutos de cálculos aboriosos e admiráveis, que refletem o aspecto experimental do tema.

Descrição

O homem é um animal que calcula. Não somente sabe somar e subtrair, como também sabe multiplicar e dividir.

Um número primo é um número inteiro maior que 1, que só admite como divisores ele próprio e 1. Os demais inteiros maiores que 1, não-primos, são chamados compostos. Todo número composto é produto de números primos. A menos da ordem dos fatores, esse produto é único. Esse é o teorema fundamental da aritmética. Então, os números primos formam os blocos de base para construção dos números inteiros, por meio da operação de multiplicação.

Assim, não é de estranhar que os números primos tenham sido objeto de estudos ininterruptos, desde muito tempo. Propriedades muito variadas foram descobertas por numerosos matemáticos, atraídos pela fascinação desses números.

Na minha juventude – infelizmente há muito tempo – já admirava as propriedades, muitas vezes difíceis de provar e até surpreendentes, que possuem os números primos. Consegui aprendê-las, durante anos, de maneira desordenada, o que contrariava o espírito de organização que decorre da compreensão aprofundada. Pensei então que uma síntese se fazia necessária. É um dos objetivos deste trabalho, dividido em capítulos, segundo as questões naturais e fundamentais que se podem propor, ou se devem propor, sobre números primos.

Ei-las:

(1) Quantos números primos existem?
(2) Como reconhecer que um dado número é primo?
(3) Existem fórmulas ou algoritmos para gerar números primos?

No capítulo inicial, veremos que existe uma infinidade de números primos – sem o que o teoria dos números e o próprio mundo seriam difíceis de imaginar.

Processos imaginativos para determinar de maneira eficiente a primaridade de um número dado, fazem o objeto do segundo capítulo. No Capítulo 3, tomamos conhecimento que não existe qualquer processo eficiente para gerar números primos de modo sistemático e simples.

Tudo isso nos conduz naturalmente à pergunta:

(4) Como são distribuídos os números primos entre todos os números naturais?

Em outras palavras, quantos números primos existem em intervalos dados, em progressões aritméticas, etc.?

Os resultados mais profundos da teoria, relacionam-se com essas perguntas.

No Capítulo 5, consideraremos números primos tendo propriedades adicionais, por exemplo, satisfazendo a congruências, ou pertencendo a certas sucessões, etc.

O último capítulo serve para ressaltar que a teoria dos números primos apoia-se, de maneira essencial, sobre cálculos numéricos bem extensos e raciocínios heurísticos a eles ligados. Isso nos conduz a conjecturas, muitas vezes difíceis de desvendar.

Esse método, que existia desde a época clássica de Fermat, Euler, Legendre e Gauss, foi fortemente ampliado com o aparecimento dos computadores eletrônicos

Um outro objetivo deste livro é a apresentação de resultados desses cálculos, indicando em cada caso, os recordes obtidos até hoje.

O homen é um animal que procura ultrapassar-se.

Os recordes nos esportes e em outras atividades excercem atração irresistível.

O famoso Livro Guinness de Recordes prova isso, através de numerosas edições, múltiplas traduções e, sobretudo,, pela incitação a performances cada vez mais extraordinárias.

Neste livro, o leitor pode satisfazer, até a saciedade, a fome pelos mistérios e recordes dos números primos.. Porque não um famoso Livro de Recordes dos Números Primos?

Eu confio em você!

Enfim, e o mistério da epígrafe? Você poderá compreendê-lo depois de cuidadoso trabalho e leitura atenta deste livro. À sua saúde!

 

Conteúdo

Prefácio
Pequeno guia para o leitor
Agradecimentos
Nota do tradutor
Índice de notações

1 Quantos números primos existem?

1. A demonstração de Euclides
2. Goldbach também demonstrou
3. A demonstração de Euler
4. A demonstração de Thue
5. Três demonstrações esquaecidas
1. A demonstração de Perott
2. A demonstração de Auric
3. A demonstração de Métrod
6. A demonstração de Washington
7. A demonstração de Fürstenberg

2 Como reconhecer os númerosprimos?

1. O crivo de Eratóstenes
2. Alguns teoremas fundamentais sobre congruências
1. O pequeno teorema de Fermat e as raízes primitivas módulo um número primo
2. O teorema de Wilson
3. As propriedades de Giuga e de Wolstenholme
4. A potência de um número primo dividindo um fatorial
5. O teorema chinês
6. A função de Euler
7. Sucessões de bonômios
8. Resíduos quadráticos
3. Testes clássicos de primaridade baseados em congruências
4. Sucessões de Lucas
5. Testes de primaridade baseados em sucessões de Lucas
6. Os números de Fermat
7. Os números de Mersenne
Apêndice sobre os números perfeitos
8. Números pseudoprimos
1. Números pseudoprimos na base 2 (psp)
2. Números pseudoprimos na base a (psp(a))
3. Números pseudoprimos de Euler na base a (epsp(a))
4. Números pseudoprimos fortes na base a (spsp(a))
9. Os números de Carmichael
Apêndice sobre os números de Knödel
10. Números pseudoprimos de de Lucas
1. Pseudoprimos de Fibonacci
2. Números pseudoprimos de Lucas (lpsp(P,Q))
3. Pseudoprimos de Euler-Lucas (elpsp(P,Q)) e pseudoprimos fortes de Lucas (slpsp(P,Q))
4. Números de Carmichael-Lucas
11. Primaridade e fatoração
1. O custo dos testes
2. Outros testes de primaridade
3. Os primos titânicos e curiosos
4. Fatoração
5. Criptografia de chave pública

3 Existem funções que definem os números primos?

1. Funções satisfazendo a condição (a)
2. Funções satisfazendo a condição (b)
3. Funções satisfazendo a condição(c)

4 Como se distribuem os números primos?

1. O crescimento de pi (x)
1. Histórico
2. Somas fazendo intervir a função de Möbius
3. A distribuição dos valores da finção de Euler
4. Tabelas de números primos
5. Estimação e valor exato de pi (x) e comparação com x/log x.Li(x) e R(x)
6. Os zeros não triviais de zeta(s)
7. Regiões sem zeros zeta(s) e termo de erro do teorema dos números primos
2. O enegésimo número primo e os espaçamentos entre números primos sucessivos
1. Algumas propriedades de pi(x)
2. O enegésimo número primo
3. Espaçamento entre números primos consecutivos
3. Números primos gêmeos
Apêndice sobre a conjectura de Polignac
Apêndice sobre k-tuplas de números primos
4. Números primos em progressão aritmética
1. Existe uma infinidade deles!
2. O menor número primo de uma progressão aritmética
3. Sucessão de números primos em progressão aritmética
5. A célebre conjectura de Goldbach
6. Distribuição dos números pseudoprimos e dos números de Carmichael
1. Distribuição dos números pseudoprimos
2. Distribuição dos números Carmichael
3. Distribuição dos números pseudoprimos de Lucas

5 Que números primos particulares foram estudados?

1. Os primos regulares
2. Os primos de Sophie Germain
3. Os primos de Wieferich
4. Os primos de Wilson
5. Repunidades e números semelhantes
6. Números primos da forma k x 2n ± 1
Apêndice sobre os números de Cullen e de Woodall
7. Números primos em sucessões recurrentes lineares de segunda ordem

6 Heurística e resultados probabilísticos sobre números primos

1. Números primos valores de polinômios lineares
2. Números primos valores de polinômios de grau arbitrário
3. Polinômios tendo muitos valores compostos sucessivos
4. Partitio Numerorum

Apêndice
Conclusão
Bibliografia
Números primos até 10000
Índice de tabelas
Índice de recordes
Índice de autores
Índice de assuntos

Autores

Paulo Ribenboim

Paulo Ribenboim nasceu em Recife em 1928. Foi discípulo de Antonio Monteiro no Brasil, Jean Dieudonné na França, Wolfgang Krule na Alemanha e pesquisador do IMPA de 1956 a 1959. Teve uma carreira internacional, principalmente nos Estados Unidos, na França e no Canadá, onde ensinou na Queen’s University. É autor de mais de 200 artigos de pesquisa e exposição bem como de numerosos livros, entre os quais: “13 Lectures on Fermat’s Last Theorem”, “Fermat’s Last Theorem for Amateurs”, “The New Book of Prime Number Records”, “My Numbers, My Friends”, “Classical Theory of Algebraic Numbers”, “The Theory of Classical Valuatives”. Detentor do Prêmio Pólya em exposição matemática, Doutor Honoris Causa da Universidade de Caen e Membro da Academy of Sciences of The Royal Society of Canada.