Geometria Complexa e Folheações Holomorfas

A teoria das equações diferenciais complexas foi iniciada no século XIX com os trabalhos de Briot e Bouquet, Poincaré, Picard, Darboux, Painlevé, Halphen e, já no início do século XX, Dulac. Quando uma equação vem dada por polinômios, ela define de maneira natural uma folheação por folhas de dimensão um no espaço euclidiano ou em uma de suas compactificações. A questão principal consiste em analisar a dinâmica das soluções (as folhas), tanto local quanto globalmente.

A pesquisa moderna na área foi retomada por Reeb na França, inspirado pelos trabalhos de Painlevé, e por Petrovsky, Landis e Iliashenko na Rússia, motivados pelo 16º problema de Hilbert. A década de 70 trouxe intenso desenvolvimento na França, com as contribuições de Moussu, Mattei, Cerveau, Martinet e Ramis, e no Brasil, com os avanços alcançados pelo grupo do IMPA. Desde então, o grupo tem tido contribuição fundamental no estabelecimento de teoremas importantes, frequentemente com a colaboração de pesquisadores de universidades brasileiras.

Os fenômenos modelados por equações diferenciais polinomiais reais geram, de uma maneira natural, equações diferenciais complexas. A interface entre a equação real e a sua complexificada conduz a uma melhor compreensão do fenômeno modelado. Uma das razões é que o estudo do problema complexificado permite a utilização de ferramentas provenientes da Análise Complexa e da Geometria Algébrica, revelando aspectos não aparentes do problema real e produzindo resultados que podem ser interpretados no contexto original. Inversamente, o estudo de equações diferenciais do tipo Picard-Fuchs e aquelas provenientes de conexões de Gauss-Manin resulta em demonstrações rigorosas de alguns teoremas fundamentais da Geometria Algébrica, como o teorema de Noether-Lefschetz. Tais equações são satisfeitas por períodos de fibrações e deram origem à teoria de Hodge em Geometria Algébrica.

A pesquisa desenvolvida no IMPA trata de uma variada gama de problemas que vão desde questões clássicas de integrabilidade por meio de funções transcendentes até questões mais modernas sobre a dinâmica de folheações e aplicações em Geometria Algébrica e Teoria de Hodge. Algumas linhas desta pesquisa são:

  • Conjuntos limites de folheações
  • Estrutura transversal de folheações complexas
  • Folheações projetivas de codimensão um
  • Geometria birracional de folheações
  • Linearização de folheações e vizinhanças normais
  • Soluções algébricas de equações diferenciais algébricas
  • Uniformização das folhas de uma folheação complexa
  • Índices e invariantes de folheações projetivas
  • 16º problema de Hilbert e zeros de integrais abelianas
  • Equações de Picard-Fuchs e teoria de Picard-Lefschetz
  • Equações diferenciais de formas modulares
  • Variedades de Calabi-Yau
  • Ciclos de Hodge e ciclos algébricos

 

Pesquisadores

Alcides Lins Neto

Pesquisadores Aposentados: Doutor, IMPA – 1974
Pesquisador Titular : Pesquisador Titular
Áreas de pesquisa : Geometria Complexa e Folheações Holomorfas
Telefone : +55-21-2529-5108
Fax: +55-21-2529-5129

César Camacho

Pesquisadores Aposentados: Doutor, Univ.of California, Berkeley – 1971
Pesquisador Titular : Pesquisador Titular
Áreas de pesquisa : Geometria Complexa e Folheações Holomorfas
Telefone : +55-21-2529-5148/5270
Fax: +55-21-2512-4115

Hossein Movasati

Pesquisadores Aposentados: Doutor, IMPA
Pesquisador Titular : Pesquisador Associado
Áreas de pesquisa : Geometria Complexa e Folheações Holomorfas
Telefone : +55-21-2529-5180
Fax: +55-21-2529-5019

Jorge Vitório Pereira

Pesquisadores Aposentados: Doutor, IMPA – 2001
Pesquisador Titular : Pesquisador Titular
Áreas de pesquisa : Geometria Complexa e Folheações Holomorfas
Telefone : +55-21-2529-5226
Fax: +55-21-2529-5129

Paulo Sad

Pesquisadores Aposentados: Doutor, IMPA – 1977
Pesquisador Titular : Pesquisador Titular
Áreas de pesquisa : Geometria Complexa e Folheações Holomorfas
Telefone : +55-21-2529-5222
Fax: +55-21-2529-5129